要点
- 方法：観測者の位置で目標方向の WGS84 楕円体の曲率半径を持つ球を使い、大気屈折は有効半径 R/(1 − k) で表現。水平線・沈下量・隠れる高さは閉じた式で求め、単純なベクトル幾何と 1 マイクロメートルまで照合。水平線の円は GeographicLib で配置。
- ブラウザ内で動作します。クリックした場所、描いた図形、開いたファイルはアップロードされません。
- データとライブラリ：OpenFreeMap, MapLibre GL JS, GeographicLib (geographiclib-geodesic), Terrain Tiles (Mapzen / Tilezen on AWS Open Data), GeoNames (via all-the-cities)。
- 無料で使えます。登録もインストールも不要です。
海岸で目の高さが水面から 1.7 m なら、穏やかな海の水平線までは屈折なしで約 4.7 km、空気中での通常の光の屈折を含めると 5 km です。高さ 100 m の崖からは 36〜38 km、エベレストの山頂からは約 340 km になります。水平線より遠いものは下から順に見えなくなります。沖合 30 km の高さ 20 m の船、海峡の向こうの灯台、湖の対岸の街並みなどです。この計算ツールは、それにまつわるよくある疑問に答えます。水平線まではどのくらいか、ある高さからどこまで見えるか、10 km や 10 マイルで地球はどれだけ曲がるか、遠くの物体のどれだけが隠れるか、その頂上を見るにはどれだけ高く立てばよいか。目の高さと距離を入力するか、立っている場所をクリックしてから見たいものをクリックすると、パネルに地表に沿った水平線までの距離と直線距離、目の高さの水平面から水平線までの見下ろし角（眼高差）、地表の沈下量、目標の隠れる部分と見える部分、必要な目の高さ、頂上までの角度が表示されます。「地面の高さ」をオンにすると、両地点の標高を標高検索ツールと同じ地形モデルから取得するので、丘の上の展望地点も反映されます。水平線は地図上に円として描かれ、表では 1〜500 km またはマイルでの曲率が見られ、結果はリンクで共有したり GeoJSON や KML でダウンロードしたりできます。
使い方
- メートルとキロメートル、またはフィートとマイルを選び、地面からの目の高さを入力します。
- 町を検索するか、現在地を使うか、地図をクリックして自分の位置（A）を置くと、水平線の円が表示されます。
- 見たいもの（B）をクリックするか距離を入力し、船のマストや塔など、その高さを入力します。
- 目標の隠れる部分と見える部分、頂上を見るのに必要な目の高さ、頂上までの角度を読み取ります。
- 大気屈折を変える、「距離ごとの曲率」を開く、共有リンクをコピーする、水平線を GeoJSON や KML でダウンロードする、といった操作ができます。
精度はどのくらい？
曲率の計算方法
地球は球として扱い、その半径はあなたの位置における目標方向の WGS84 楕円体の曲率半径です。赤道での南北方向の約 6,335 km から、極付近の 6,400 km まで変わります。目標がない場合は全方向の平均を、場所がない場合は地球の平均半径 6,371 km を使います。水平線までの距離は地表に沿って R·arccos(R/(R+h))、目標の隠れる高さは目標の立つ地点での地表からの視線の高さ、沈下量は目が地表にある場合の同じ値です。式は球の上では厳密で、単純なベクトル幾何と 1 マイクロメートルまで照合しました。楕円体を局所的な球で置き換えることによる差は、大気屈折の影響よりはるかに小さくなります。
大気屈折で視線が曲がる
空気は地面に近いほど密度が高いため、光はわずかに下向きに曲がり、地球の丸みに少し沿って進みます。測量ではこれを屈折係数 k と有効地球半径 R/(1 − k) で表します。光の標準値 k = 0.13 では、水平線が約 7 % 遠くなり、遠くの目標の隠れる部分が約 15 % 少なくなります。電波では通常 k = 0.25（4/3 地球）が使われます。暖かい日の冷たい水面の上では k が 0.5 以上になることがあり、熱い地面の上では負になることもあるため、実際の隠れる高さは計算と数十 % 違うことがあります。浮き上がり現象や上位蜃気楼では、隠れているはずのものが見えます。純粋な幾何だけなら「なし」を選んでください。
地面の標高と考慮しないもの
地面の高さをオンにすると、A と B の標高を Terrain Tiles（SRTM などの測量データ、通常 5〜10 m 以内）から取得し、目の高さと目標の高さに加えます。海面や湖面は 0 m とします。そのうえで 2 点間は海面高度のなめらかな地球と仮定するので、水上や平地では正確です。間にある丘、森、建物は確認しません。それには地形を経路に沿ってサンプリングする見通しツールを使ってください。波、もや、目標の大きさも、実際に見えるかどうかを左右します。
知っておきたいこと
沈下量は隠れる高さではない
よく知られた「1 マイルの 2 乗あたり 8 インチ」は、地表の 1 点から引いた水平線に対する地表の沈下量で、10 マイルで 66.7 ft です。これは遠くの物体のうち見えない部分の高さではありません。目は地面より上にあり、水平線は何マイルも先にあるからです。水面から 6 ft の高さで見ると、10 マイル先の目標が隠れるのは屈折なしで約 33 ft、屈折ありで 27 ft と、沈下量の半分ほどです。
身長ではなく目の高さ
頭のてっぺんではなく、水面や地面からの目の高さを測ってください。立った大人で約 1.6〜1.7 m、それに桟橋、甲板、崖の高さを加えます。水面から 3 m の甲板に立ち、目がそこから 1.7 m なら 4.7 m となり、水平線は 4.7 km から 7.7 km に遠ざかります。
水平線は見える範囲の限界ではない
水平線は海面が見えなくなる位置であって、見えるものの限界ではありません。その先にある山や高い塔も、頂上が視線より上に出ていれば見えます。海面から 2 m の高さからなら、高さ 100 m の崖は約 41 km 先まで見えます。ツールではこれを「頂上が見える最大距離」として表示します。
よくある質問
水平線までの距離はどのくらいですか？
目の高さが穏やかな海面から 1.7 m の立った大人なら、屈折なしで約 4.7 km（2.9 マイル）、標準の屈折ありで 5 km（3.1 マイル）です。10 m からは 11〜12 km、100 m からは 36〜38 km、1,000 m からは 113〜121 km、高度 10,000 m の飛行機からは約 360〜380 km です。
地球は 1 km または 1 マイルあたりどれだけ曲がっていますか？
地表は水平線に対して約 d²/(2R) だけ下がります。1 km で 8 cm、5 km で 2 m、10 km で 7.8 m、マイルでは 1 マイルで 8 インチ、3 マイルで 6 ft、10 マイルで 67 ft です。沈下量は距離の 2 乗に比例して増えるので、1 マイルあたりの決まった量はありません。
船や建物は地球の丸みでどれだけ隠れますか？
距離だけでなく目の高さにもよります。目が海面から 2 m の場合、30 km 先の目標は屈折なしで下から 49 m、屈折ありで約 41 m が隠れます。両方の高さと距離を入力するか、地図上で 2 地点をクリックすると、隠れる部分と見える部分がわかります。
遠くのものを見るにはどれだけ高い場所にいればよいですか？
自分の位置と目標をクリックし、目標の高さを入力すると、なめらかな地球の上でちょうど頂上が見える目の高さが表示されます。2 つの高さは、それぞれの水平線距離の合計まで互いに見通せます。目の高さ 2 m と高さ 20 m のマストなら、屈折なしで約 21 km、屈折ありで 22.5 km まで見通せます。
隠れているはずのものが見えることがあるのはなぜですか？
大気屈折のためです。冷たい海面や湖面の上では光が曲がり、海岸線や船がまるごと浮き上がって見えるほど強く曲がることもあります（浮き上がり現象や上位蜃気楼）。標準の屈折は k = 0.13 ですが、そのような日には 0.5 以上になることがあります。計算結果は典型的な値であり、ある日の夕方に見えることを保証するものではありません。
地球の半径はどこでも同じですか？
いいえ。地球は極方向につぶれた楕円体なので、曲率は場所と見る方向によって変わります。曲率半径は赤道の南北方向で 6,335 km、極付近で約 6,400 km です。ツールはあなたの位置と方向に合った値を使い、水平線距離はそれによって最大約 0.5 % 変わります。
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