Erdkrümmung berechnen – Entfernung zum Horizont und verdeckte Höhe

Vom Strand aus, mit den Augen 1,7 m über dem Wasser, liegt der Horizont einer ruhigen See ohne Refraktion etwa 4,7 km entfernt und mit der üblichen Lichtbrechung in der Luft 5 km; von einer 100 m hohen Klippe sind es 36–38 km und vom Gipfel des Mount Everest etwa 340 km. Alles, was weiter entfernt ist als der Horizont, beginnt von unten her zu verschwinden: ein 20 m hohes Schiff 30 km vor der Küste, ein Leuchtturm jenseits einer Meerenge oder die Skyline einer Stadt am anderen Ufer eines Sees. Dieser Rechner beantwortet die Fragen, die man dazu stellt: Wie weit ist der Horizont, wie weit kann man aus einer bestimmten Höhe sehen, wie stark krümmt sich die Erde auf 10 km, wie viel von einem fernen Objekt ist verdeckt, und wie hoch muss man stehen, um seine Spitze zu sehen? Geben Sie Ihre Augenhöhe und eine Entfernung ein oder klicken Sie, wo Sie stehen, und dann auf das, was Sie sehen möchten, und das Feld zeigt die Sichtweite zum Horizont entlang der Oberfläche und in gerader Linie, die Kimmtiefe unter Augenhöhe, den Abfall der Oberfläche, den verdeckten und den sichtbaren Teil des Ziels, die nötige Augenhöhe und den Winkel zu seiner Spitze. Mit eingeschalteter „Geländehöhe“ kommen die Höhen beider Punkte aus demselben Höhenmodell wie bei der Höhenabfrage, sodass ein Aussichtspunkt auf einem Hügel zählt. Der Horizont wird als Ring auf der Karte gezeichnet, die Tabelle zeigt die Krümmung für 1 bis 500 km oder Meilen, und das Ergebnis lässt sich als Link teilen oder als GeoJSON oder KML herunterladen.

So funktioniert es

1. Wählen Sie Meter und Kilometer oder Fuß und Meilen und geben Sie die Höhe Ihrer Augen über dem Boden ein.
2. Suchen Sie Ihren Ort, nutzen Sie Ihren Standort oder klicken Sie auf die Karte, um sich zu platzieren (A); der Horizontring erscheint.
3. Klicken Sie auf das, was Sie sehen möchten (B), oder geben Sie seine Entfernung ein, und geben Sie seine Höhe ein, z. B. den Mast eines Schiffs oder einen Turm.
4. Lesen Sie den verdeckten und den sichtbaren Teil des Ziels ab, die nötige Augenhöhe, um seine Spitze zu sehen, und den Winkel dorthin.
5. Ändern Sie die Refraktion, öffnen Sie „Krümmung nach Entfernung“, kopieren Sie den Link oder laden Sie den Horizont als GeoJSON oder KML herunter.

Wie genau ist das?

So wird die Erdkrümmung berechnet

Die Erde wird als Kugel behandelt, deren Radius der Krümmungsradius des WGS84-Ellipsoids an Ihrem Standort in Richtung des Ziels ist, von etwa 6.335 km in Nord-Süd-Richtung am Äquator bis 6.400 km nahe den Polen; ohne Ziel wird der Mittelwert über alle Richtungen verwendet, ohne Ort der mittlere Erdradius von 6.371 km. Die Entfernung zum Horizont ist R·arccos(R/(R+h)) entlang der Oberfläche, die verdeckte Höhe eines Ziels ist die Höhe Ihrer Sichtlinie über der Oberfläche dort, wo das Ziel steht, und der Abfall ist dasselbe für ein Auge an der Oberfläche. Die Formeln sind auf der Kugel exakt und wurden auf einen Mikrometer gegen einfache Vektorgeometrie geprüft; das Ersetzen des Ellipsoids durch seine örtliche Kugel ändert die Ergebnisse weit weniger als die Refraktion.

Refraktion krümmt die Sichtlinie

Die Luft ist in Bodennähe dichter, daher wird Licht leicht nach unten gebrochen und folgt der Erdkrümmung ein wenig. Vermesser modellieren das mit einem Refraktionskoeffizienten k und einem effektiven Erdradius R/(1 − k). Der Standardwert für Licht, k = 0,13, rückt den Horizont um etwa 7 % weiter weg und verdeckt etwa 15 % weniger von einem fernen Ziel; Funkwellen werden meist mit k = 0,25 modelliert (die 4/3-Erde). Über kaltem Wasser an einem warmen Tag kann k 0,5 oder mehr betragen, über heißem Boden auch negativ sein, sodass die tatsächlich verdeckte Höhe um Dutzende Prozent von der Rechnung abweichen kann. Luftspiegelungen und Hebungen (Looming, Spiegelungen nach oben) bringen Objekte in Sicht, die verdeckt sein müssten; wählen Sie „Keine“ für die reine Geometrie.

Geländehöhen und was nicht berücksichtigt wird

Mit eingeschalteter Geländehöhe kommt die Höhe von A und B aus Terrain Tiles (SRTM und andere Vermessungen, typischerweise auf 5–10 m genau) und wird zur Augen- und Zielhöhe addiert; Meeres- und Seeflächen zählen als 0 m. Der Rechner nimmt dann zwischen den beiden Punkten eine glatte Erde auf Meereshöhe an, was über Wasser und flachem Land stimmt. Hügel, Wälder und Gebäude dazwischen werden nicht geprüft: Nutzen Sie dafür das Sichtlinien-Werkzeug, das das Gelände entlang der Strecke abtastet. Wellen, Dunst und die Größe des Ziels entscheiden ebenfalls, ob Sie es wirklich sehen.

Gut zu wissen

Der Abfall ist nicht die verdeckte Höhe

Die beliebte Faustformel „8 Zoll pro Meile zum Quadrat“ (etwa 7,8 cm pro km²) gibt den Abfall der Oberfläche unter einer Waagerechten von einem Punkt an der Oberfläche an: 7,8 m auf 10 km. Das ist nicht, wie viel von einem fernen Objekt Sie nicht sehen, denn Ihre Augen sind über dem Boden und der Horizont liegt Kilometer entfernt. Aus 1,8 m über dem Wasser verdeckt die Krümmung bei einem 16 km entfernten Ziel ohne Refraktion etwa 10 m und mit Refraktion etwa 8 m, nur die Hälfte der 20 m Abfall auf dieser Strecke.

Augenhöhe, nicht Körpergröße

Messen Sie die Höhe Ihrer Augen über dem Wasser oder dem Boden, nicht die Ihres Scheitels: etwa 1,6–1,7 m bei einem stehenden Erwachsenen, dazu die Höhe von Steg, Deck oder Klippe. Ein Bootsdeck 3 m über dem Wasser mit den Augen 1,7 m darüber ergibt 4,7 m, und der Horizont rückt von 4,7 km auf 7,7 km.

Am Horizont endet die Sicht nicht

Der Horizont ist dort, wo die Meeresoberfläche verschwindet, nicht die Grenze dessen, was Sie sehen können. Ein Berg oder ein hoher Turm dahinter bleibt sichtbar, wenn seine Spitze über Ihre Sichtlinie ragt: Aus 2 m über dem Meer ist eine 100 m hohe Klippe bis etwa 41 km Entfernung zu sehen. Das Werkzeug gibt das als „Größte Entfernung, aus der die Spitze sichtbar ist“ an.